已知双曲线x²/a²-y²/b²=1 (a>0,b>0),M、N分别是双曲线上关于原点对称的两点,P是双曲线上的动点,且直线PM、PN的斜率分别为k1,k2,k1*k2≠0,若丨k1丨+丨k2丨的最小值为1,则双曲线的离心率为多少?
设P(asecθ,btanθ),M(asecα,btanα),则N(-asecα,-btanα),所以
k1=(btanθ-btanα)/(asecθ-asecα)
k2=(btanθ+btanα)/(asecθ+asecα)
从而|k1|+|k2|
=|(btanθ-btanα)/(asecθ-asecα)|+ |(btanθ+btanα)/(asecθ+asecα)|
≥|(btanθ-btanα)/(asecθ-asecα)+(btanθ+btanα)/(asecθ+asecα)|
=(b/a)|(sinθcosα-cosθsinα)/(cosα-cosθ)+(sinθcosα+cosθsinα)/(cosα+cosθ)|
=(b/a)|sin(θ-α)/(cosα-cosθ)+sin(θ+α)/(cosα+cosθ)|
=(b/a)|2sin[(θ-α)/2]cos[(θ-α)/2]/{-2sin[(α+θ)/2]sin[(α-θ)/2]}+2sin[(θ+α)/2]cos[(θ+α)/2]/{2cos[(α+θ)/2]cos[(α-θ)/2]}|
=(b/a)|cos[(θ-α)/2]/sin[(θ+α)/2]+sin[(θ+α)/2]/cos[(θ-α)/2]|
=(b/a)|1/{sin[(θ+α)/2]cos[(θ-α)/2]}|
=(b/a)/|sin[(θ+α)/2]cos[(θ-α)/2]|
≥b/a
也即|k1|+|k2|的最小值为b/a,所以,依题意有b/a=1,平方得
b²=a²,即c²-a²=a²,化简得c²=2a²,所以离心率为e=√2