∵f（x）=x（x-3）2=x3-6x2+9x x∈[0，+∞），
∴f′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）
当x∈[0，1]时f′（x）≥0，则函数在[0，1]上单调递增
当x∈[1，3]时f′（x）0，则函数在[1，3]上单调递减
当x∈（3，+∞）时f′（x）＞0，则函数在（3，+∞）上单调递增
∴当x=1时，函数取极大值4，当x=3时，函数取极小值0．
（1）当a，b∈[0，1]时，f（x）在[0，1]上为增函数，
∴
f(a)＝a(a−3)2＝ka
f(b)＝b(b−3)2＝kb即在[0，1]上存在两个不等的实数使得（x-3）2=k
而（x-3）2在[0，1]上单调递减，故不存在；
（2）当a，b∈[1，3]时，f（x）在[1，3]上为减函数，
∴
f(a)＝a(a−3)2＝kb
f(b)＝b(b−3)2＝ka即a=b，此时实数a，b的值不存在．
（3）当a，b∈（3，+∞）时，f（x）在（3，+∞）上为增函数，
∴
f(a)＝a(a−3)2＝ka
f(b)＝b(b−3)2＝kb即在（3，+∞）上存在两个不等的实数使得（x-3）2=k
而（x-3）2在（3，+∞）上单调递增，故不存在；
（4）当a∈[0，1），b∈[1，3]时，1∈[a，b]，f（1）=4=kb
∴k=[4/b]∈[[4/3]，4]
（5）当a∈（1，2），b∈[3，+∞）时，3∈[a，b]，f（3）=0=ka
根据题意可知k＞0
∴a=0，不可能
（6）当a∈[0，1），b∈[3，+∞）时，3∈[a，b]，f（3）=0=ka，1∈[a，b]，f（1）=4=kb
根据题意可知k＞0
∴a=0，
令f（x）=x（x-3）2=4解得x=1或4
∴3≤b≤4而k=[4/b]∈[1，[4/3]]
（7）当a∈[0，1），b∈[4，+∞）时，4∈[a，b]，f（4）=1，1∈[a，b]，f（1）=4=kb
根据题意可知k＞0，∴a=1，
令f（x）=x（x-3）2=4解得x=1或4
∴b=4而k=[4/b]=1．
综上所述：k∈[1，4]
最小的k值为1
故选A．