已知动圆M与圆F:x²+(y-2)²=1外切,与圆N:x²+y²+4y²

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  • (1)求动圆圆心M所在的曲线C的方程

    ∵圆F:x²+(y-2)²=1的圆心为(0,2),半径为1;圆N:x²+y²+4y-77=0的圆心为(0,-2),半径为9

    ∵动圆M与圆F:x²+(y-2)²=1外切,与圆N:x²+y²+4y-77=0内切

    ∴√[x²+(y-2)²]-1=9-√[x²+(y+2)²]

    整理得25x²+21y²=525

    ∴动圆圆心M所在的曲线C的方程为25x²+21y²=525

    (2)设经过点P(2,2)的直线方程为y=kx-2k+2

    把y=kx-2k+2代入25x²+21y²=525得(25+21k²)x²+84(k-k²)x+84(k-1)²-525=0

    ∵点P是直线y=kx-2k+2与曲线25x²+21y²=525两交点A、B的中点

    ∴x1+x2=-84(k-k²)/(25+21k²)=2*2=4

    ∴k=-25/21

    ∴直线AB的方程为y=-25x/21+92/21