Question

已知数列{an}是首项为1，公差为d的等差数列；数列{bn}是公比为2的等比数列，且{bn}的前4项的和为[15/2]．

Answer 1

解题思路：（1）由已知条件得b₁+2b₁+4b₁+8b₁=[15/2]，由此能求出b_n=2^n-2．

（2）b₈=2⁶=64，b₉=2⁷=128，a_n=3n-2，由b₈≤a_i≤b₉（i∈N^*），得64≤3i-2≤128，从而得到22≤i≤43，由此能求出满足条件的所有项a_i的和．

（3）由已知条件得c_n=a_n•b_n＞0，此时T_n无最大项，d＜0，{a_n}单调递减，由此能求出公差d的取值范围．

（1）∵数列{b_n}是公比为2的等比数列，且{b_n}的前4项的和为[15/2]．

b₁+2b₁+4b₁+8b₁=[15/2]，

解得b₁=[1/2]，

∴b_n=2^n-2．…（5分）

（2）b₈=2⁶=64，b₉=2⁷=128，

∵数列{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，

∴a_n=3n-2

∵b₈≤a_i≤b₉（i∈N^*），∴64≤3i-2≤128，

解得，22≤i≤[130/3]，

又i属于N^*，22≤i≤43，

a₂₂=64，a₄₃=127，

∴S=a₂₂+a₂₃+…+a₄₃

=[22/2]（64+127）=2101，

∴满足条件的所有项a_i的和为2101．…（12分）

（3）∵bn＝2n−1＞0，若d≥0，则a_n＞0，

∴c_n=a_n•b_n＞0，此时T_n无最大项，

∴d＜0，…（12分）

此时{a_n}单调递减，欲T_n的最大项为T₅，

则必有c₅≥0，c₆≤0，即a₅≥0，a₆≤0，…（14分）

又a_n=1+（n-1）d，∴

1+4d≥0

1+5d≤0，

解得−

1

4≤d≤−

1

5．…（16分）

点评：

本题考点： 数列的求和；数列的应用．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．