Question

已知椭圆ax²+by²=1与直线x+y-1=0交AB两点,|AB|=2分之根号2,AB的中点M与椭圆

Answer 1

联立椭圆与直线方程:

{x+y=1

{ax^2+by^2=1

可得到:

(a+b)x^2-2bx+b-1=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n)

{x1+x2=2b/(a+b)

{x1x2=(b-1)/(a+b)

∴m=b/(a+b)

n=-m+1=a/(a+b)

∵kOM=√2/2

∴a/b=√2/2.①

又|AB|^2=8

即:2[(x1+x2)^2-4x1x2]=8

∴a^2+b^2+3ab-a-b=0.②

联立①②：

解得:

{a=1/3

{b=√2/3

∴椭圆的方程:x^2+√2y^2=3