Question

设正项等比数列{an}的首项a1=1/2,前n项和为sn,且2∧10S10-(2∧10 1)S20 S30=0

Answer 1

（1）2^10*S30-(2^10+1)S20+S10=0可转化成下式

2^10(S30-S20)=S20-S10

(S30-S20)/(S20-S10)=2^(-10)

S30-S20,S20-S10分别为等比数列第三个十项之和,第二个十项之和

则有等比数列性质可知 (S30-S20)/(S20-S10)=q^10

q^10=2^(-10) 得出公比q=1/2

an=a1*q^(n-1)=2^(-n)

(2)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=1-2^(-n)

数列bn=nSn=n-n2^(-n）

命cn=n,dn=n2^(-n)

易知等差数列cn前n项和Tcn=n(1+n)/2

Tdn=1*2^(-1)+2*2^(-2)+3*2^(-3)+...+n2^(-n)

2Tdn=1*2^(0)+2*2^(-1)+3*2^(-2)+...+n2^(-n+1)

两式相减得Tdn=2^(0)+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(-n+1)-n2^(-n)

2^(0)+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(-n+1)为等比数列前n项和

易知2^(0)+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(-n+1)=2[1-2^(-n)]

则Tdn=2[1-2^(-n)]-n2^(-n)=2-(n+2)2^(-n)

所以Tn=Tcn-Tdn=n(1+n)/2-2+(n+2)2^(-n)