解题思路:先定义新函数F(x)=
f(x)
lnx
,对F(x)求导找出单调区间,再判断F(2),F(e),F(e2)的大小.
由题意得:x∈(0,+∞),
令函数F(x)=
f(x)
lnx,
∴F′(x)=
f′(x)lnx−f(x)•
1
x
ln2x
又f′(x)lnx>
f(x)
x,
∴F′(x)>0,
∴函数F(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴F(e)>F(2),即:
f(e)
lne>
f(2)
ln2,∴f(2)<f(e)ln2,
F(e)<F(e2),即:
f(e)
lne<
f(e2)
lne2,∴2f(2)<f(e2);
故答案为:B.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的运算.
考点点评: 本题考察了通过求导的方式求函数的单调区间,在单调区间上判断函数值的大小,本题的关键是引进新函数F(x).