设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),e为自然对数的底数.若f′(x)lnx>f(x)x.则(  )

1个回答

  • 解题思路:先定义新函数F(x)=

    f(x)

    lnx

    ,对F(x)求导找出单调区间,再判断F(2),F(e),F(e2)的大小.

    由题意得:x∈(0,+∞),

    令函数F(x)=

    f(x)

    lnx,

    ∴F′(x)=

    f′(x)lnx−f(x)•

    1

    x

    ln2x

    又f′(x)lnx>

    f(x)

    x,

    ∴F′(x)>0,

    ∴函数F(x)在(0,+∞)上是增函数,

    ∴F(e)>F(2),即:

    f(e)

    lne>

    f(2)

    ln2,∴f(2)<f(e)ln2,

    F(e)<F(e2),即:

    f(e)

    lne<

    f(e2)

    lne2,∴2f(2)<f(e2);

    故答案为:B.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的运算.

    考点点评: 本题考察了通过求导的方式求函数的单调区间,在单调区间上判断函数值的大小,本题的关键是引进新函数F(x).