Question

a,b是整数,若对所有正整数n,(2^n)a+b为完全平方数,证明:a=0

Answer 1

重点是以下观察:当a·2^n+b与a·2^(n+2)+b都为完全平方数,

可知3b = 4(a·2^n+b)-(a·2^(n+2)+b)为两个数的平方差.

若a ≠ 0使得对任意正整数a·2^n+b都是完全平方数,

则上式表明3b有无穷多种方式写成两个完全平方数之差.

然而,对任意取定的整数b,3b = x²-y² = (x+y)(x-y)只有有限组整数解 (x+y只能为3b的约数),矛盾.

因此a = 0.