Question

关于二重积分轮换对称性问题对于一般Dxy关于y轴对称如：x^2+y^2≤1,∫∫x^2+y^2dxdy,我把x换为-x,

Answer 1

不是这样的,

1

对于Dxy是关于y轴对称的区域,满足∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, y)dxdy

（所以如果f(x,y)是个关于x的奇函数的话,f(-x, y)= -f(x,y)

所以∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, y)dxdy= -∫∫f(x, y)dxdy

得到∫∫f(x,y)dxdy=0）

2

如果Dxy是关于y=x对称的区域,那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(y, x)dxdy

（所以如果积分函数满足f(y,x)= -f(x,y),就能得出∫∫f(x,y)dxdy=0）

3

如果Dxy是关于y=-x对称,那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-y, -x)dxdy

4

关于Dxy是原点对称的区域,那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, -y)dxdy