Question

函数f（x）=ln（1+2 x +a•4 x ）的定义域为（-∞，1]，求实数a的取值范围．

Answer 1

f（x）=ln（1+2 ^x+a•4 ^x）的定义域为（-∞，1]，则x≤1时函数

g（x）=1+2 ^x+a•4 ^x＞0恒成立，所以 a＞- (

1

4 ) x - (

1

2 ) x ；

函数 y=- (

1

4 ) x - (

1

2 ) x =- [ (

1

2 ) x +

1

2 ] 2 +

1

4 ，设 t= (

1

2 ) x ，则 t≥

1

2 ，此时函数 y=- (t+

1

2 ) 2 +

1

4 在 t≥

1

2 ，上单调递减，

所以 y≤- (

1

2 +

1

2 ) 2 +

1

4 =-

3

4 ，此时x=1．

所以 a＞-

3

4 ．

实数a的取值范围 (-

3

4 ，+∞) ．