解题思路：（Ⅰ）由已知条件推导出∠ADB是二面角A-CD-B的平面角，过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则∠MNE是二面角E-DF-N的平面角，由此能求出二面角E-DF-C的余弦值．
（Ⅱ）在线段BC上取点P，使BP=[1/3BC＝
4
3]，过P作PQ⊥CD于Q，由此能求出结果．
（3）分别以CD、BD、AD为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥D-ABC外接球，由此能求出三棱锥D-ABC外接球的表面积．
（Ⅰ）∵AD⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角
∴AD⊥BD∴AD⊥平面BCD，取CD的中点M，
这时EM∥AD，∴EM⊥平面BCD
过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E-DF-N的平面角
在 Rt△EMN中，EM=[1/2]AD=[1/4]AB=1，MN=
3
2，
∴EN=
7
2，cos∠MNE=
21
7，
∴二面角E-DF-C的余弦值为
21
7．
（Ⅱ）在线段BC上取点P，
使BP=[1/3BC＝
4
3]，
过P作PQ⊥CD于Q，
∴PQ⊥平面ACD，
∵DQ=
1
3DC＝
2
3
3，
在等边△ADE中，
∠DAQ=30°，
∴AQ⊥DE，∴AP⊥DE．
（3）∵正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，
将△ABC沿CD折叠成直二面角A-DC-B，
∴CD、BD、AD两两垂直，AD=BD=2，CD=
点评：
本题考点： 二面角的平面角及求法；球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算．
考点点评： 本题考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的判断，考查三棱锥的外接球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．
1年前
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