Question

已知a,b为正实数,求证a^ab^b>=a^bb^a

Answer 1

一、当a＝b＞0时,显然有：（a^a）（b^b）＝（a^b）（b^a）.

二、当a＞b＞0时,有：a^b＞0、b^a＞0、a/b＞1、a－b＞0,

∴b^（a－b）＞0、（a/b）^（a－b）＞1,

∴a^（a－b）＞b^（a－b）,

∴（a^a）/（a^b）＞（b^a）/（b^b）,

∴（a^a）（b^b）＞（a^b）（b^a）.

三、当b＞a＞0时,将上述二中的a、b互换,即可得：（a^a）（b^b）＞（a^b）（b^a）.

∴当a、b均为正数时,（a^a）（b^b）≧（a^b）（b^a）.