Question

（1）已知Z是复数，求证：①|Z|2＝Z•.Z；②.Z−.Z＝.Z−Z；

Answer 1

解题思路：（1）设 z=a+bi，a、b∈R，分别代入两个等式的左右两边化简，即可证得等式成立．

（2）把已知条件两边平方，利用共轭复数的性质化简可得z₁

.

z1

+z₂

.

z2

=1+z₁z₂

.

z1

.

z2

，可得（|z₁|²-1）（|z₂|²-1）

=0，从而有|z₁|，|z₂|中至少有一个为1．

（1）设 z=a+bi，a、b∈R，

∵|Z|²=a²+b²，Z•

.

Z=9a+bi）（a-bi）=a²+b²，∴①|Z|2＝Z•

.

Z 成立．

∵

.

Z−

.

Z=

.

(a+bi)−(a−bi)=-2bi，

.

Z−Z=（a-bi）-（a+bi）=-2bi，∴②

.

Z−

.

Z＝

.

Z−Z成立．

（2）∵|z₁-

.

z2|=|1-z₁z₂|，∴|z₁-

.

z2|² =|1-z₁z₂|² ．

∴（z₁-

.

z2） （

.

z1−

.

z2 ）=（1-z₁z₂）（1-

.

1−z1z2 ）．

∴（z₁-

.

z2）（

.

z1-z₂）=（ 1-z₁z₂）（1-

.

z1

.

z2）．

化简后得z₁

.

z1+z₂

.

z2=1+z₁z₂

点评：
本题考点： 复数求模；复数代数形式的乘除运算．

考点点评： 本题主要考查共轭复数的定义和性质，两个复数代数形式的乘除法，求复数的模的方法，属于基础题．