Question

如图所示，在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=1，BC=2，CC 1 =5，M为棱CC 1 上一

Answer 1

（1）过点M作MN ∥ C ₁D，交D ₁D于N，连接A ₁N，

则∠A ₁MN或其补角就是异面直线A ₁M和C ₁D ₁所成角

在Rt△A ₁NM中，AB=1，A ₁N=

2 2 +(

3

2 ) 2 =

5

2

∴tan∠A ₁MN=

A 1 N

MN =

5

2

由此可得，当 C 1 M=

3

2 时，异面直线A ₁M和C ₁D ₁所成角的正切值为

5

2 ；

（2）∵A ₁B ₁⊥平面BB ₁C ₁C，BM⊆平面BB ₁C ₁C，

∴A ₁B ₁⊥BM，

因此可得：只要B ₁M⊥BM，就有BM⊥平面A ₁B ₁M．

假设存在M点，使得BM⊥平面A ₁B ₁M，设C ₁M=x

则矩形BB ₁C ₁C中，B ₁M⊥BM，所以∠MB ₁C ₁=∠MBB ₁

∴Rt△B ₁MB ∽ Rt△MB ₁C ₁，所以

C 1 M

B 1 M =

B 1 M

B 1 B

∴B ₁M ²=B ₁B•C ₁M，可得4+x ²=5x，解之得x=1或4

∴当C ₁M的长为1或4时，存在点M使得BM⊥平面A ₁B ₁M．