（I）f′（x）=lnx-2ax，（x＞0）．
∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，即0-2a=0，解得a=0．
∴f′（x）=lnx，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，1）内单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）内单调递增．
∴函数f（x）在x=1时取得极小值．
（II）由题意可得：xlnx-ax 2-x＜-x，
∴xlnx-ax 2＜0，
∵x＞0，∴a＞
lnx
x ．
设h（x）=
lnx
x ，则h′（x）=
1-lnx
x 2 ，
令h′（x）＞0，解得0＜x＜e，∴h（x）在区间（0，e）上单调递增；
令h′（x）＜0，解得e＜x，∴h（x）在区间（e，+∞）上单调递减．
∴h（x）在x=e时取得极小值，即最小值，h（e）=
1
e ．
∴a＞
1
e ．
（III）由（II）可知：h（x）在（e，+∞）上单调递减，
∴h（x）＞h（x+1），
∴
lnx
x ＞
ln(x+1)
x+1 ，化为lnx x+1＞ln（x+1） x，
∴x x+1＞（x+1） x，
令x=2012，可得2012 201′3＞2013 2012．