解题思路:(Ⅰ)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),抛物线y2=-4x的焦点是(-1,0),从而得到c=1,再由ca=12能求出椭圆Ω的方程.(Ⅱ)设切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l上一点M的坐标(4,t),则切线方程分别为x1x4+y1y3=1,x2x4+y2y3=1,由此推导出直线AB的方程是x+t3y=1,由此能够推导出直线恒过定点C(1,0).
(Ⅰ)设椭圆方程为
x2
a2+
y2
b2=1(a>b>0),
抛物线y2=-4x的焦点是(-1,0),故c=1,
又∵[c/a=
1
2],∴a=2,b=
a2−c2=
3,
∴所求的椭圆Ω的方程为
x2
4+
y2
3=1.
(Ⅱ)设切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l上一点M的坐标(4,t),
则切线方程分别为
x1x
4+
y1y
3=1,
x2x
4+
y2y
3=1,
∵两切线均过M,即x1+
t
3y1=1,x2+
t
3y2=1,
即点A,B的坐标都适合方程x+
t
3y=1,
而两点之间确定的唯一的一条直线,
∴直线AB的方程是x+
t
3y=1,
对任意实数t,点(1,0)都适合这个方程,
故直线恒过定点C(1,0).
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;恒过定点的直线;椭圆的标准方程.
考点点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查直线恒过定点的证明,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.