已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆Ω,它的离心率为[1/2],一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合,过直线l:x=4

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  • 解题思路:(Ⅰ)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),抛物线y2=-4x的焦点是(-1,0),从而得到c=1,再由ca=12能求出椭圆Ω的方程.(Ⅱ)设切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l上一点M的坐标(4,t),则切线方程分别为x1x4+y1y3=1,x2x4+y2y3=1,由此推导出直线AB的方程是x+t3y=1,由此能够推导出直线恒过定点C(1,0).

    (Ⅰ)设椭圆方程为

    x2

    a2+

    y2

    b2=1(a>b>0),

    抛物线y2=-4x的焦点是(-1,0),故c=1,

    又∵[c/a=

    1

    2],∴a=2,b=

    a2−c2=

    3,

    ∴所求的椭圆Ω的方程为

    x2

    4+

    y2

    3=1.

    (Ⅱ)设切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l上一点M的坐标(4,t),

    则切线方程分别为

    x1x

    4+

    y1y

    3=1,

    x2x

    4+

    y2y

    3=1,

    ∵两切线均过M,即x1+

    t

    3y1=1,x2+

    t

    3y2=1,

    即点A,B的坐标都适合方程x+

    t

    3y=1,

    而两点之间确定的唯一的一条直线,

    ∴直线AB的方程是x+

    t

    3y=1,

    对任意实数t,点(1,0)都适合这个方程,

    故直线恒过定点C(1,0).

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;恒过定点的直线;椭圆的标准方程.

    考点点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查直线恒过定点的证明,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.