Question

数列{an}的前n项和为Sn=2n+1-2，数列{bn}是首项为a1，公差为d（d≠0）的等差数列，且b1，b3，b11

Answer 1

解题思路：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2，

（2）由（1）知，c_n=a_n•b_n=（3n-1）•2ⁿ，利用错位相减法即可求得T_n．

（1）数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2，

当n=1时，a₁=S₁=4-2=2．

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，

a₁=2适合上式．

∴a_n=2ⁿ；

∵b₁，b₃，b₁₁成等比数列，

∴b32＝b1b11，即（2+2d）²=2（2+10d），解得d=3，d=0（舍去），

∴b_n=2+3（n-1）=3n-1．

（2）由（1）知，c_n=a_n•b_n=（3n-1）•2ⁿ，

∴T_n=2•2¹+5•2²+8•2³+…+（3n-1）•2ⁿ①，

2T_n=2•2²+5•2³+8•2⁴+…+（3n-1）•2ⁿ⁺¹②，

①-②，得-T_n=2•2+3•2²+3•2³+…+3•2ⁿ-（3n-1）•2ⁿ⁺¹

=3（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（3n-1）•2ⁿ⁺¹-2

=3•

2(1−2n)

1−2-（3n-1）•2ⁿ⁺¹-2

=（4-3n）•2ⁿ⁺¹-8，

∴T_n=（3n-4）•2ⁿ⁺¹+8．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

考点点评： 该题考查等差数列、等比数列的通项公式，考查数列的求和，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．