解题思路：（1）连接OE，并延长EO交⊙O于N，连接DN；由于ME是⊙O的切线，则∠MEG=∠N，而∠MGE=∠AGF，易证得∠AGF=∠B，即∠MGE=∠B，若证ME=MG，关键就是证得∠N=∠B；可从题干入手：点D是弧ABC的中点，则弧AD=弧DBC=弧AE，所以弧DBE=弧AEC，即AC=DE，由此可证得∠N=∠B，即可得到∠MGE=∠MEG，根据等角对等边即可得证．
（2）根据相交弦定理可求得DF、EF的长，即可得到DE、AC的长，易证得△AFG∽△ACB，根据所得比例线段即可求得AG、GC的长，再由（1）证得ME=MG，可用MG分别表示出MA、MC的长，进而根据切割线定理求出MG的长，有了AG、MG的值，那么它们的比例关系就不难求出．
（1）ME=MG成立，理由如下：
如图，连接EO，并延长交⊙O于N，连接BC；
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥DE，
∴
AD＝
AE，
∵点D是
ABC的中点，
∴
AD＝
DBC，
∴
AE＝
DBC，
∴
AC＝
DBE，即AC=DE，∠N=∠B；
∵ME是⊙O的切线，
∴∠MEG=∠N=∠B，
又∵∠B=90°-∠GAF=∠AGF=∠MGE，
∴∠MEG=∠MGE，故ME=MG．
（2）由相交弦定理得：DF2=AF•FB=3×[4/3]=4，即DF=2；
故DE=AC=2DF=4；
∵∠FAG=∠CAB，∠AFG=∠ACB=90°，
∴△AFG∽△ACB，
∴[AG/AB＝
AF
AC]，即[AG
3+
4/3＝
3
4]，
解得AG=[13/4]，GC=AC-AG=[3/4]；
设ME=MG=x，则MC=x-[3/4]，MA=x+[13/4]，
由切割线定理得：ME2=MC•MA，即x2=（x-[3/4]）（x+[13/4]），
解得MG=x=[39/40]；
∴AG：MG=[13/4]：[39/40]=10：3，即AG与GM的比为[10/3]．
点评：
本题考点： 切线的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相交弦定理；弦切角定理；切割线定理．
考点点评： 此题是一道圆的综合题，涉及到：切线的性质、圆周角定理、相交弦定理、弦切角定理、切割线定理等重要知识点，综合性强，难度较大，能够发现AC、DE的等量关系是解答此题的关键所在．