Question

.在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又2是a3与a

Answer 1

解题思路：（1）根据等比数列的性质解出a₃=4，a₅=1，可得首项与公比，可得通项公式

a

n

＝16×(

1

2

)

n−1

＝

2

5−n

，从而

得到 b_n 和

S

n

＝

n(n+1)

2

．

（2）

1

S

n

＝

2

n(n+1)

＝2(

1

n

−

1

n+1

)

，用裂项法求得

T

n

＝

1

S

1

+

1

S

2

+…+

1

S

n

的值．

（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，∴a₃²+2a₃a₅+a₅²=25，又a_n＞0，∴a₃+a₅=5，

又2为a₃与a₅的等比中项，∴a₃a₅=4．

而q∈（0，1），∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，∴q＝

1

2，a1＝16，

∴通项公式 an＝16×(

1

2)n−1＝25−n，b_n=5-log₂a_n=5-（5-n）=n，∴Sn＝

n(n+1)

2．

（2）

1

Sn＝

2

n(n+1)＝2(

1

n−

1

n+1)，

∴Tn＝

1

S1+

1

S2+…+

1

Sn＝2[(1−

1

2)+(

1

2−

1

3)+…+(

1

n−

1

n+1)]=2(1−

1

n+1)＝

2n

n+1．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，用裂项法对数列求和，求出

an＝16×(12)n−1＝25−n，是解题的关键．