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微积分 1666年,莱布尼茨写成“论组合术”(De ArtCombinatoria)一文,讨论了平方数序列
0,1,4,9 16,…
的性质,例如它的第一阶差为
1,3,5,7,…,
第二阶差则恒等于
2,2,2,…
等．他注意到,自然数列的第二阶差消失,平方序列的第三阶差消失,等等．同时他还发现,如果原来的序列是从0开始的,那么第一阶差之和就是序列的最后一项,如在平方序列中,前5项的第一阶差之和为 1＋3＋5 +7=16,即序列的第5项．他用X表示序列中项的次序,用Y表示这一项的值．这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想,可以看作是他微积分思想的萌芽．“论组合术”是他的第一篇数学论文,使他跻身于组合数学研究者之列．
1672年,惠更斯给莱布尼茨出了一道他自己正同别人竞赛的题目：求三角级数(1,3,6,10,…)倒数的级数之和
莱布尼茨圆满地解决了这一问题,他是这样计算的：
初次成功激发了他进一步深入钻研数学的兴趣．通过惠更斯,他了解到B．卡瓦列里(Cavalieri)、I．巴罗(Barrow)、B．帕斯卡(Pascal)、J．沃利斯(Wallis)的工作．于是,他开始研究求曲线的切线以及求平面曲线所围图形的面积、立体图形体积等问题．1674年,他学习R．笛卡儿(Descartes)几何学,同时对代数性发生了兴趣．这一时期,他检索了已有的数学文献．
对于当时数学界密切关注的切线问题和求积问题,莱布尼茨在前人的基础上提出了一个普遍方法．这个方法的核心是特征三角形(characteristic triangle)．在帕斯卡、巴罗等人讨论过的特征三角形的基础上,他建立了由dx,dy和PQ(弦)组成的特征三角形．其中dx,dy的意义是这样的：在他1666年“论组合术”中所考虑的序列中,用dx表示相邻的序数之差,dy表示两个相邻项值之差,然后在数列项的顺序中插入若干dx,dy,于是过渡到了任意函数的dx,dy．特征三角形的两条边就是任意函数的dx,dy；而PQ 则是“P和 Q之间的曲线,而且是T点的切线的一部分”．如图1,T是曲线y=f(x)上的一点,dx,dy分别是横坐标、纵坐标的差值．
利用这个特征三角形,他很快就意识到两个问题：
(1)曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值(当这些差值变成无穷小时)之比．通过考虑图1中△PQR和△STU,发现△PQR∽△STU,从而有dy/dx=Tu/Su．也就是说,曲线y上过T点的切线的斜率是dy/dx．
(2)求积(面积)依赖于横坐标的无限小区间的纵坐标之和或无限窄矩形之和．
有了这些思想,他很快就推导出了一大批新结论．用他自己的话说就是,从特征三角形出发,“毫不费力,我确立了无数的定理”
根据莱布尼茨留下的遗稿可以判定,他是在1673年建立起特征三角形思想的．他将特征三角形的斜边PQ用“dS”表示,这样特征三角形又称为微分三角形(differential triangle)其中 ds2=dx2+dy2．
利用特征三角形,莱布尼茨早在1673年就通过积分变换,得到了平面曲线的面积公式
这一公式是从几何图形中推导出来的,经常被他用来求面积．
1673—1674年,他给出了求一条曲线y=y(x)绕x轴旋转一周所形成的旋转体的表面积A的公式
同时,他还给出了曲线长度公式
在求面积问题方面,莱布尼茨深受卡瓦列里“线由无穷多个点构成,面由无穷多条线构成”思想的影响,认为曲线下的面积是无穷多的小矩形之和．1675年10月29日,他用“∫”代替了以前的和符号“Omn”(“∫”是Sum 和)的第一个字母“s”的拉长),用∫ydx表示面积,在这份手稿中,他还从求积出发,得到了分部积分公式
1676年11月,他得出了公式
其中n是整数或分数(n≠-1)．
莱布尼茨的积分方面的工作是与微分方面的工作交叉进行的．
由于研究巴罗的著作,以及引入特征三角形,莱布尼茨越来越强烈地意识到,微分(主要是导数、求切线)与积分(求和)必定是相反的过程．在1675年10月29日的手稿中,他就注意到,面积被微分时必定给出长度,因此他开始探讨“∫”的运算(积分)和“d”的运算(微分)之间的关系,认识到要从y回到dy,必须做出y的微差或者取y的微分．经过这种不充分的讨论,他断定一个事实：作为求和的过程的积分是微分的逆．这样,莱布尼茨就第一次表达出了求和(积分)与微分之间的关系．
莱布尼茨于1675—1676年给出了微积分基本定理(后来又称为牛顿-莱布尼茨公式)
(A为曲线f下的图形的面积．)
于1693年给出了这个定理的证明．以前,微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题,是分别地加以研究的．卡瓦列里、巴罗、沃利斯等许多人得到了一系列求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果,但这些结果是孤立、不连贯的．虽然他们已开始考虑微分和积分之间的关系,然而只有莱布尼茨和牛顿(各自独立地)将微分和积分真正沟通起来,明确地找到了两者的内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算．而这正是建立微积分学的关键所在．只有确立了这一基本关系,才能在此基础上构建系统的微积分学．并从对各种函数的微分和求积公式中,总结出共同的算法程序,使微积分方法普遍化,发展成用符号表示的微积分运算法则．
莱布尼茨于1684年10月发表在《教师学报》(Acta erudito-rum)上的论文,题目是“一种求极大值与极小值和求切线的新方法,它也适用于无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算”(Nova Methodus pro Maximis et Minimis,itemque tangentibus,quae necfractas,necirrationales quantitates moratur,et singularepro illis Calculi genus),在数学史上被公认为是最早发表的微积分文献．
早在1677年7月11日前后及11月左右,莱布尼茨明确定义了dy为函数微分,给出了dy的演算规则：
“如果a是给定的常数,则da=0,dax=adx；
加法和减法 v=z—y＋w＋x,dv=dz-dy+dw＋dx；
乘法 y=vx,dy=vdx+xdv
在1676—1677年的手稿中,他利用特征三角形分析了曲线切线的变化情况：对于曲线v=v(x),当dv与dx之比为无穷大时,切线垂直于坐标轴(x轴)．当dv与dx之比等于0时,切线平行于x轴,当dv=dx≠0时,则切线与坐标轴成45°角,他指出,对于曲线v,当dv=0时,“在这个位置的v,明显地就是极大值(或极小值)”,他详细讨论了当dv＜0,而变成dv=0后又dv＜0时取极大值,反之则取极小值的情形．他还给出了拐点——曲线的凹凸情况发生变法的条件是d2v=0．
以后,莱布尼茨具体求出了各种各样复杂函数的微商(导数)．1686年,给出了对数函数,指数函数的微商．1695年求出了y=xx的微商dy=xx(1+lnx),等等．
他引入了n阶微分的符号dn,并且给出了高阶微分的“莱布尼茨法则”：
其中
n!=1×2×3×…×(n-1)×n．
莱布尼茨在积分方面的成就,后来比较集中地写在1686年5月发表在《教师学报》上的一篇论文中,题为“潜在的几何与不可分量和无限的分析”(De Geometria recondita et Analysi Indivisi-bilium atque Infinitorum)．
品中出现了积分符号．同年,他引入了空间曲线的“密切”(osculating)这一术语,并给出了曲率ρ公式：
其中R为曲率半径．
1692年和1694年,他给出了求一族曲线 f(x,y,α)=0(α为曲线族参数)包络的普遍方法：在
中消去α．实际上,用微积分方法研究几何在微积分奠基者(牛顿、莱布尼茨等)那里已经开始了．切线、包络等几何问题在莱布尼茨手中是与微积分连在一起的．
无穷级数 在微积分的早期研究中,有些函数如指数函数等超越函数的处理相当困难,然而人们发现,若用它们的级数来处理,则非常有成效．因此,无穷级数从一开始就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的一个重要部分．有时使用无穷级数是为了计算一些特殊的量,如莱布尼茨曾用无穷级数表达式计算π(圆周率)．
在求面积的过程中,通过无穷级数表示圆在第一象限的面积,他得到了π的一个十分漂亮的表达式
1673年左右,他独立地得到了sinx,cosx和arctgx等函数的无穷级数展开式．还得到了圆面积和双曲线面积的具体展开式,并且将这些展开式与反正切、余割、正弦函数、自然对数函数、指数函数联系起来了．他经常利用级数展开式研究超越函数．有时还将多项式定理用于分式函数或超越函数的展开式．
无穷级数展开式,得到了如下的式子：
误的．直到1734—1735年,L．欧拉(Euler)才得到
在1713年10月25日写给约翰•伯努利(John Bernoulli)的信中,莱布
“莱布尼茨判别法”,但他当时的证明却错了．在考虑级数 还相当混乱．
微分方程 微分方程在微积分创立之初就为人们所关注．1693年,莱布尼茨称微分方程为特征三角形的边(dx,dy)的函数．在微分方程方面,他进行了一系列工作．其中有些工作是十分独特的．
1691年,他提出了常微分方程的分离变量法,解决了形如
型方程的求解问题．方法是,先写成
然后两边积分．
这一年,他还提出了求解一次齐次方
的方法：
因此经过这种变换,原来的一次齐次方程就变成了
1694年,他证明了把一阶线性常微分方程y′＋P(x)y=Q(x)化成积分方程的正确方法,他的方法使用了因变量替换．同时,他还给出了(y′)2+p(x)y′＋q(x)=0的解法．1694年,他和约翰•伯努利引进了找等交曲线或曲线族的问题,并求出了一些特殊问题的解．
1696年,他证明了,利用变量替换z=y1-n,可以将伯努利方程
变换x=P11u+P12v,y=P21u+P22v可以将微分方程
a00＋a10x＋(a01＋a11x)y′=0
进行简化．
通过求解微分方程,莱布尼茨解决了许多具体问题．例如,1686年,他解决了这样的问题：求一条曲线,使得一个摆沿着它作一次完全振动,都用相等的时间,而无论摆所经历的弧长怎样(即等时问题)．他指出,
证明,并认识到了圆函数、三角函数的超越性,弄清了许多超越函数的基本性质．此外,他还考虑过概率方程．这一时期,他还求出了十分重要的曳物线方程：
1691年,他给出了自达•芬奇(L．Da Vinci)时代就考虑过的悬链线(catenary,这个名称是莱布尼茨给出的)方程为
1696年,约翰•伯努利提出了著名的最速降线问题：
求从一给定点到不是在它垂直下方的另一点的一条曲线,使得一质点沿这条曲线从给定点P1下滑所用的时间最短；其中摩擦和空气阻力都忽略．
这是约翰•伯努利向全欧洲数学家发出的挑战．1697年,莱布尼茨和I．牛顿(Newton)、G．F．A．洛比达(L’Hospital)、约翰•伯努利分别解决了最速降线问题,指出这是由方程
表示的上凹的旋轮线,并由此开始了变分法的研究．
数学符号、代数 莱布尼茨在微积分方面的贡献突出地表现在他发明了一套适用的符号系统．1675年引入dx表示x的微分,“∫”表示积分,ddv,dddy表示二阶、三阶微分．1695年左右用dmn表示m阶微分．他比别人更早更明确地认识到,好的符号能大大节省思维劳动,运用符号的技巧是数学成功的关键之一．他自觉地和格外慎重地引入每一个数学符号,常常对各种符号进行长期的比较研究,然后再选择他认为最好的、富有启示性的符号．他创设的符号还有
此外还有对数符号、函数符号、行列式符号等等．很多符号的普遍使用与他的提倡和影响密切相关．他还引入了“函数”(function)、“常量”(constant quantity)、变量”(variate)、“参变量”(para-meter)等术语．
在代数学方面,莱布尼茨不仅强调引入符号的重要性,而且还讨论了负数、复数的性质,认为复数的出现是无害的,断言复数的对数是不存在的,为此曾在当时的数学界掀起了一场关于负数、虚数的对数之争论．在研究复数时,他还得出过这样的结论：共轭复数的和是实数
用一般的复数表示．他把虚数看作是存在(being)与非存在(not-being)的中介．
在1678年以前,莱布尼茨就开始了对线性方程组、行列式的研究,对消元法从理论上进行了探讨．在1693年4月28日致洛比达的信中他提出了行列式概念：“我引进方程：
此处,在两个数码中,前者表示此数所属的方程式,后者代表此数所属的字母(未知数)．”这样,他创设了采用两个数码的系数记号,相当于现在的aik,为矩阵和行列式一般理论的发展提供了方便的工具．