首先,根据原子核的运动速度远低于电子,在模型中取原子核为固定的点,于是形成对电子而言的双势阱型的势,关键参数为原子核间距,这样薛定谔方程很容易写出.包含两个电子的动能项,势能项,以及两个电子的库伦作用项.原子间的库伦项可以略去,不对电子波函数产生影响.不用写了吧.你的问题是求方程而不是求解吧?嘿嘿
其次,解有无穷多个,要具体解绝不是一两页可以写得完的,尤其还是不适合写数学公式的百度知道.简单点,就说基态吧.基态时氢原子核间距主要是原子核的排斥势和电子间交换作用平衡的结果,两个电子的排斥势相对是个小量.就先假设原子核间距已知吧（正确的基态也是先要作这种假设,然后多次计算,比较后才知道什么间距对应能量最低）.两个原子核外只有一个电子的波函数解是从氢原子基态解微扰得到的（两个氢原子上的基态分别记作态左和态右,它们是正交的可以作为波函数基矢,如果取态空间只有这两个基矢,则这个问题中的波函数基态解是sqrt{2}(态左-态右),其实很简单吧.）,至于微扰的量级为氢原子基态电子穿越势阱间势垒的隧穿率（乘以普朗克常数）,和原子间距有关.氢原子基态解和微扰论不讲了吧,量子力学的书上一般都讲,结合起来解就可以了.隧穿率由于势垒形状不是最常见例子,很不好解,但是微积分高手可以硬解,一般都使用经验参数.
再次,解出了一个电子在双势阱中的波函数解后,引入第二个电子,由于两个电子的斥力是小量,它们自旋相反占据同一个轨道并且该轨道就是单电子时的波函数解.两体波函数写成交换对称型（空间波函数）,对哈密顿量求期望就知道这个形式的波函数比两体可分离形式的波函数能量期望要低,这就是交换作用体现出来吸引势能,积分就可知能级.同时用这个波函数解对电子的库伦排斥项求期望,可以验证电子的排斥势能为小量.补充说一下,这个排斥势其实会导致波函数偏离上面给出的解,要写出这个解的正确形式要使用完备的态空间.态空间的完整基矢可以使用激发态波函数,但是这些基矢对应的能量较高,因此电子间库伦斥力这种小微扰导致跃迁到这种基矢的概率很小,这就是为什么精度要求不高时可以使用基态解作基矢的原因.
话说这样的问题,希望别人详细解的话,换做是我至少给200分.工作量很大的.