解题思路：（Ⅰ）确定函数的定义域，求导函数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）的最小值M=a2-2a2lna，令g（x）=x2-2x2lnx（x＞0）求出函数的最大值，即可得出结论．
（Ⅰ）f（x）=x2-2a2lnx（a＞0）的定义域为（0，+∞）．
f′(x)＝2x−
2a2
x=
2x2−2a2
x=
2(x+a)(x−a)
x．…（2分）
令f'（x）=0，解得x=a或x=-a（舍）．
当x在（0，+∞）内变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：
x （0，a） a （a，+∞）
f'（x） - 0 +
f（x） ↘ a2-2a2lna ↗由上表知，f（x）的单调递增区间为（a，+∞）；f（x）的单调递减区间为（0，a）．…（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，f（x）的最小值M=a2-2a2lna．…（6分）
令g（x）=x2-2x2lnx（x＞0），则g'（x）=2x-4xlnx-2x=-4xlnx．
令g'（x）=0，解得x=1．…（8分）
当x在（0，+∞）内变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下：
x （0，1） 1 （1，+∞）
g'（x） + 0 -
g（x） ↗ 1 ↘所以函数g（x）的最大值为1，即g（x）≤1．
因为a＞0，所以 M=a2-2a2lna≤1．…（11分）
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，正确求导是关键．