Question

已知复数z 1 满足（3+4i）z 1 =-1+7i，z 2 =a-2-i，a∈R．

Answer 1

（1）因为 z 1 =

-1+7i

3+4i ，所以 z 1 =

(-1+7i)•(3-4i)

(3+4i)•(3-4i) =1+i．…（1分）

于是 | z 1 +

.

z 2 |=|1+i+a-2+i|=|a-1+2i|=

(a-1) 2 +4 ， | z 1 |=

2 ，…（3分）

又 | z 1 +

.

z 2 |＜2| z 1 | ，则

(a-1) 2 +4 ＜2

2 ，解得-1＜a＜3．

因此，所求的a的取值范围为（-1，3）．…（5分）

（2）由（1）知z ₁=1+i，则 z 1 +

.

z 2 =a-1+2i ．

所以a-1+2i（a∈R）是方程 x ²-2x+p=0（p∈R）的一个根，

则△=（-2） ²-4p＜0，且a-1-2i（a∈R）也是此方程的一个根．…（8分）

于是

△=(-2 ) 2 -4p＜0

(a-1+2i)+(a-1-2i)=2

(a-1+2i)•(a-1-2i)=p. ，解得

a=2

p=5. ，

因此，a=2，p=5．…（10分）