在△ABC中,AB=AC,(1)如图①,若∠BAC=45°,AD和CE是高,它们相交于点H.求证:AH=2BD;(2)如

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  • 解题思路:(1)证得△BCE≌△HAE,证得AH=BC,证得AH=2BD;

    (2)根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系,再根据路程=速度×时间公式,先求得点P运动的时间,再求得点Q的运动速度.

    (1)证明:在△ABC中,

    ∵∠BAC=45°,CE⊥AB,

    ∴AE=CE,∠EAH=∠ECB,

    在△AEH和△CEB中,

    ∠EAH=∠ECB

    AE=CE

    ∠AEC=∠BEC=90°,

    ∴△AEH≌△CEB(ASA),

    ∴AH=BC,

    ∵BC=BD+CD,且BD=CD,

    ∴BC=2BD,

    ∴AH=2BD.

    (2)∵AB=AC,∴∠B=∠C,

    ∴△BPM与△CQP全等有两种情况:△BPM≌△CPQ 或△BPM≌△CQP

    当△BPM≌△CPQ时,BP=PC=4,CQ=BM=5,

    ∴点P,点Q运动的时间t=

    BP

    3=

    4

    3秒,

    ∴vQ=

    CQ

    t=

    5

    4

    3=

    15

    4厘米/秒.

    当△BPM≌△CQP时,BP=CQ,

    ∴VQ=VP=3厘米/秒.

    此时 PC=BM=5,t=[BP/3=1秒.

    综上所述,点Q的运动速度为

    15

    4]厘米/秒,此时t=[4/3]秒或点Q的运动速度为3厘米/秒,此时t=1秒.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.

    考点点评: 此题考查了全等三角形的判定,等腰三角形的性质.解题时,主要是运用了路程=速度×时间的公式.熟练运用全等三角形的判定和性质,能够分析出追及相遇的问题中的路程关系.