Question

已知椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 和椭圆上一个定点A(0,1),e=√3/2椭圆上又有另两点M,N 满足AM

Answer 1

∵点A在椭圆上,∴b=1

∵e=c/a=√3/2,c=√3/2a

c²=a²-b²,即3/2a²=a²-1,a=2

∴椭圆方程为：x²/4+y²=1

设AM的斜率为k,则AN的斜率为：-1/k

∵AM、AN过顶点A(0,1)

∴直线AM方程为：y=kx+1

直线AN方程为：y=-x/k+1

代入椭圆方程得交点坐标：

M(-8k/(1+4k²),(1-4k²)/(1+4k²))

N(8k/(k²+4),(k²-4)/(k²+4))

直线MN方程为:(y-(1-4k²)/(1+4k²))/(x+8k/(1+4k²))=(y-(k²-4)/(k²+4))/(x-8k/(k²+4))

将x=0代入化简得：y=-3/5

∴ 直线MN过顶点(0,-3/5)