设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn - 知识问答

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2．求数列{an}的通项公式．

3个回答

解题思路：由已知推导出数列{a_n+1-2a_n}是首项为3，公比为2的等比数列，于是
a
n+1
2
n+1
−
a
n
2
n
＝
3
4
，因此数列{
a
n
2
n
}是首项为[1/2]，公差为[3/4]的等差数列，由此能求出
a
n
＝(3n−1)•
2
n−2
．
由S₂=4a₁+2有a₁+a₂=4a₁+2，解得a₂=3a₁+2=5，
故a₂-2a₁=3，
又a_n+2=S_n+2-S_n+1=4a_n+1+2-（4a_n+2）=4a_n+1-4a_n，
于是a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
因此数列{a_n+1-2a_n}是首项为3，公比为2的等比数列．
所以a_n+1-2a_n=3×2^n-1，于是
an+1
2n+1−
an
2n＝
3
4，
因此数列{
an
2n}是首项为[1/2]，公差为[3/4]的等差数列，
an
2n＝
1
2+(n−1)×
3
4＝
3
4n−
1
4，
所以an＝(3n−1)•2n−2．
点评：
本题考点：数列递推式．
考点点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．

相关问题