Question

已知椭圆的方程为x^2 /4 +y^2=1,设直线l：y=x+m与此椭圆交于P,Q两点,|PQ|等于椭圆的短半轴长,求m

Answer 1

1、

b²=1

所以短半轴=b=1

y=x+m

代入x²+4y²=4

5x²+8mx+4m²-4=0

x1+x2=-8m/5

x1x2=(4m²-4)/5

(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=(80-16m²)/25

(y1-y2)²=(x1+m-x2-m)²=(x1-x2)²

PQ²=b²=1=(x1-x2)²+(y1-y2)²

所以(80-16m²)/25+(80-16m²)/25=1

m²=75/32

m=±5√6/8

2、

若B是长轴顶点

则假设B(2,0)

则直角边斜率=±1

y=x-2,代入椭圆

5x²-16x+12=0

有一个不等于2的解

所以B(2,0)有一个

则(-2,0)也有一个

若是短轴端点

B(0,1)

直角边斜率=±1

y-1=x

y=x+1

所以5x²+8x=0

有一个不等于0的解

所以B(0,1)有一个

则(0,-1)也有一个

所以一共4个