Question

已知等差数列{an}的公差大于0，且a3、a5是方程x2-14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn

Answer 1

解题思路：（1）通过求解一元二次方程求得a₃，a₅，则等差数列{a_n}的公差可求，直接由a_n=a_m+（n-m）d写出通项公式；根据给出的数列{b_n}的递推式，先取n=1求出b₁，取n=n-1得另一递推式，两式作差整理后可说明数列{b_n}是等比数列，且求出公比，则{b_n}的通项公式可求；

（2）把（1）中求出的数列{a_n}，{b_n}的通项公式代入c_n=a_nb_n，再求出c_n+1，利用作差法即可求证不等式．

（1）由x²-14x+45=0得：x₁=5，x₂=9．

∵a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，且等差数列{a_n}的公差大于0，

∴a₃=5，a₅=9，则公差d=

a5−a3

5−3＝

9−5

2＝2．

∴a_n=a₃+（n-3）d=5+2（n-3）=2n-1，

由Sn＝1−

1

2bn，当n=1时，有b1＝S1＝1−

1

2b1，∴b1＝

2

3．

当n≥2时，有bn＝Sn−Sn−1＝

1

2(bn−1−bn)，

∴3b_n=b_n-1，∵b1＝

2

3≠0，∴

bn

bn−1＝

1

3（n≥2）．

∴数列{b_n}是以[2/3]为首项，以[1/3]为公比的等比数列．

∴bn＝b1qn−1＝

2

3×(

1

3)n−1＝

2

3n．

（2）证明：由a_n=2n-1，bn＝

2

3n，∴cn＝anbn＝

2(2n−1)

3n，cn+1＝

2(2n+1)

3n+1．

则cn+1−cn＝

2(2n+1)

3n+1−

点评：

本题考点： 等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．

考点点评： 本题考查了等差数列的通项公式的求法，考查了利用递推式确定等比关系，训练了利用作差法证明不等式，作差法证明不等式的关键是判断差式的符号，此题是中档题．