在平面直角坐标系XOY中,已知圆c1:(x+1)²+y²=1和圆c2:(x-3)²+(y-

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  • ①设动圆C与圆C₁交于A₁、B₁,与圆C₂交于A₂、B₂.

    ∵A₁B₁A₂B₂平分周长

    ∴直线A₁B₁、A₂B₂分别为C₁、C₂的直径.

    ∴A₁C₁=B₁C₁=1,A₂C₂=B₂C₂=1.

    又∵A₁C=B₁C=A₂C=B₂C=R.(R为C的半径)

    ∴△A₁B₁C、△A₂B₂C为等腰△.

    ∴A₁B₁⊥C₁C,A₂B₂⊥C₂C.

    又∵A₁C₁=B₁C₁=1,A₂C₂=B₂C₂=1

    ∴C₁C=C₂C=√(R²-1).

    ∴点C在线段C₁C₂的中垂线上.

    k(C₁C₂)×k(C)=-1①

    C所在直线过C₁C₂中点②

    结合①、②得C所在直线l:y=-x+3.

    ②设动圆C的圆心C(a,b),半径为R.

    ∵(a,b)在y=-x+3上.

    ∴b=-a+3,C(a,-a+3).

    ∴C:(x-a)²+(y+a-3)²=R².

    由(1)得C₁C=C₂C=√(R²-1).

    又C₁C=√((a+1)²+(a-3)²).

    故R²-1=(a+1)²+(a-3)²,R²=(a+1)²+(a-3)²+1

    于是C:(x-a)²+(y+a-3)²=(a+1)²+(a-3)²+1

    展开得x²+y²-6y-2+a(2y-2x-2)=0.

    x²+y²-6y-2=0①,2y-2x-2=0②

    联立①、②解得定点((2+3√2)/2,(4+3√2)/2),((2-3√2)/2,(4-3√2)/2).

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