①设动圆C与圆C₁交于A₁、B₁,与圆C₂交于A₂、B₂.
∵A₁B₁A₂B₂平分周长
∴直线A₁B₁、A₂B₂分别为C₁、C₂的直径.
∴A₁C₁=B₁C₁=1,A₂C₂=B₂C₂=1.
又∵A₁C=B₁C=A₂C=B₂C=R.(R为C的半径)
∴△A₁B₁C、△A₂B₂C为等腰△.
∴A₁B₁⊥C₁C,A₂B₂⊥C₂C.
又∵A₁C₁=B₁C₁=1,A₂C₂=B₂C₂=1
∴C₁C=C₂C=√(R²-1).
∴点C在线段C₁C₂的中垂线上.
k(C₁C₂)×k(C)=-1①
C所在直线过C₁C₂中点②
结合①、②得C所在直线l:y=-x+3.
②设动圆C的圆心C(a,b),半径为R.
∵(a,b)在y=-x+3上.
∴b=-a+3,C(a,-a+3).
∴C:(x-a)²+(y+a-3)²=R².
由(1)得C₁C=C₂C=√(R²-1).
又C₁C=√((a+1)²+(a-3)²).
故R²-1=(a+1)²+(a-3)²,R²=(a+1)²+(a-3)²+1
于是C:(x-a)²+(y+a-3)²=(a+1)²+(a-3)²+1
展开得x²+y²-6y-2+a(2y-2x-2)=0.
x²+y²-6y-2=0①,2y-2x-2=0②
联立①、②解得定点((2+3√2)/2,(4+3√2)/2),((2-3√2)/2,(4-3√2)/2).
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