如图,点C是线段AB上除点A、B外的任意一点,分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE,连接AE

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  • 解题思路:(1))先由△ACD和△BCE是等边三角形,可知AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°,∠ECB=60°,故可得出∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,根据SAS定理可知△ACE≌△DCB,由全等三角形的性质即可得出结论;

    (2)由(1)中△ACE≌△DCB,可知∠CAM=∠CDN,再根据∠ACD=∠ECB=60°,A、C、B三点共线可得出∠DCN=60°,由全等三角形的判定定理可知,△ACM≌△DCN,故MC=NC,再根据∠MCN=60°可知△MCN为等边三角形,故∠NMC=∠DCN=60°故可得出结论.

    证明:(1)∵△ACD和△BCE是等边三角形,

    ∴AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°,∠ECB=60°,

    ∵∠DCA=∠ECB=60°,

    ∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,

    在△ACE与△DCB中,

    AC=DC

    ∠ACE=∠DCB

    CE=CB,

    ∴△ACE≌△DCB,

    ∴AE=BD;

    (2)∵由(1)得,△ACE≌△DCB,

    ∴∠CAM=∠CDN,

    ∵∠ACD=∠ECB=60°,而A、C、B三点共线,

    ∴∠DCN=60°,

    在△ACM与△DCN中,

    ∠MAC=∠NDC

    AC=DC

    ∠ACM=∠DCN=60°,

    ∴△ACM≌△DCN,

    ∴MC=NC,

    ∵∠MCN=60°,

    ∴△MCN为等边三角形,

    ∴∠NMC=∠DCN=60°,

    ∴∠NMC=∠DCA,

    ∴MN∥AB.

    点评:

    本题考点: 等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质,根据题意判断出△ACE≌△DCB,△ACM≌△DCN是解答此题的关键.