解题思路:(1)连接BC、AC,先由等弧所对的圆周角相等得出∠B=∠CAE,再根据同角的余角相等证明∠B=∠ACD,进而得到∠CAE=∠ACD,最后利用等角对等边得到结论AF=CF;
(2)连接AC、OE、OC、BC,设CO与AE交点为G,先由垂径定理的推论得出OC⊥AE,EG=AG=[1/2]AE=4,再利用AAS证明△EGO≌△CDO,得出OG=OD,在△OEG中根据勾股定理求出OG=3,则OD=3,CG=AD=2.设GF=x,则CF=AF=4-x,然后在△CGF中利用勾股定理列出方程(4-x)2=22+x2,解方程求出x的值,进而得到EF的长.
(1)证明:如图,连接BC、AC,
∵
AC=
CE,
∴∠B=∠CAE,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
即∠ACD+∠BCD=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠B+∠BCD=90°,
∴∠B=∠ACD,
∴∠CAE=∠ACD,
∴AF=CF;
(2)连接AC、OE、OC、BC,设CO与AE交点为G,则OC⊥AE,EG=AG=[1/2]AE=4.
∵
AC=
CE,
∴∠COE=∠COA,即∠GOE=∠DOC,
又∠OGE=∠ODC=90°,OE=OC,
∴△EGO≌△CDO(AAS),
∴OG=OD.
在△OEG中,∵∠OGE=90°,OE=5,EG=4,
∴OG=
OE2−EG2=3,
∴OD=OG=3,CG=AD=2.
设GF=x,则CF=AF=4-x,
在△CGF中,∵∠CGF=90°,
∴CF2=CG2+GF2,即(4-x)2=22+x2,
解得x=1.5,
∴EF=EG+GF=4+1.5=5.5.
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理.
考点点评: 本题考查了圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系定理,余角的性质,等腰三角形的判定,垂径定理的推论,全等三角形的判定与性质,勾股定理,综合性较强,有一定难度.准确作出辅助线是解题的关键.