已知平行六面体ABCD-A 1 B 1 C 1 D - 知识问答

已知平行六面体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA 1 的长为b，∠A

1个回答

（Ⅰ）因为
A C 1 =
AA 1 +
A 1 B 1 +
B 1 C 1 ；
∴
AC 1 2 =（
AA 1 +
A 1 B 1 +
B 1 C 1 ）²=
AA 1 2 +
A 1 B 1 2 +
B 1 C 1 2 +2
AA 1 •
A 1 B 1 +2
AA 1 •
B 1 C 1 +2
A 1 B 1 •
B 1 C 1
=b²+a²+a²+2abcos120°+2abcos120°+2a•acos90°
=b²+2a²-2ab．
∴AC₁=
b 2 +2a 2 -2ab ．
（Ⅱ）∵
AC =
AB +
BC ，
D 1 B =
D 1 A +
A 1 B 1 +
B 1 B ；
∴|
AC |=
(
AB +
BC ) 2 =
AB 2 +
BC 2 +2
AB •
BC =
a 2 + a 2 +2a 2 cos90° =
2 a；
|
D 1 B |=
(
D 1 A +
A 1 B 1 +
B 1 B ) 2
=
D 1 A 2 +
A 1 B 1 2 +
B 1 B 2 +2
D 1 A •
A 1 B 1 +2
D 1 A •
B 1 B +2
A 1 B 1 •
B 1 B
=
a 2 + b 2 + a 2 +2abcos60°+2a 2 cos90°+2abcos120° =
2 a 2 + b 2 ．
AC •
D 1 B =（
AB +
BC ）•（
D 1 A 1 +
A 1 B 1 +
B 1 B ）
=
AB •
D 1 A 1 +
AB •
A 1 B 1 +
AB •
B 1 B +
BC •
D 1 A 1 +
BC •
A 1 B 1 +
BC •
B 1 B =ab；
∴cos ＜
D 1 B ，
AC ＞ =
ab
2 a•
2 a 2 + b 2 =
b
4 a 2 +2 b 2 ．
所以直线BD₁和AC的夹角为：arccos
b
4 a 2 +2 b 2

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