解题思路：（1）以A为圆心，以AD为半径交BC于点Q，作出∠DAQ的平分线，交CD于点P；
（2）利用△ABQ∽△QCP，根据相似三角形的对应边的比相等求得CP的值；
（3）求得PQ的长，然后利用等腰三角形的定义即可进行讨论求解．
（1）点P就是所求的图形；
（2）在直角△ABQ中，BQ=
AQ2−AB2=
132−52=12，
则QC=BC-BQ=13-12=1，
∵∠AQP=∠ADC=90°，
∴∠AQB+∠PQC=90°，
又∵直角△ABQ中，∠BAQ+∠AQP=90°，
∴∠PQC=∠BAQ，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABQ∽△QCP，
∴[CP/BQ]=[QC/AB]，即[CP/12]=[1/5]，
解得：CP=[12/5]；
（3）当P是顶角顶点时，M在CQ的延长线上，CM=CQ=1，
则BM=13+1=14；
在直角△PCQ中，PQ=
PC2+CQ2=
(
12
5)2+12=[13/5]，
当Q是等腰三角形的顶角顶点时，QM=PQ=[13/5]，当M在BQ上时，BM=BQ-QM=12-[13/5]=[47/5]；
当Q在BQ的延长线上时，BM=BQ+QM=12+[13/5]=[73/5]；
当M是等腰三角形的顶角顶点时，M在PQ的中垂线上，如图．
PN=[1/2]PQ=[1/2]×[13/5]=[13/10]，
∵∠PQC=∠BAQ，∠B=∠QNM=90°，
∴△ABQ∽△QNM，
∴[QM/AQ]=[QN/AB]，即[QM/13]=
13
10
5，
解得：QM=[169/50]，
则BM=BQ+QM=12+[169/50]=[769/50]．
总之，BM=14或[47/5]或[73/5]或[769/50]．
点评：
本题考点： 作图—复杂作图；等腰三角形的判定；矩形的性质．
考点点评： 本题考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，正确对等腰三角形进行讨论是关键．