Question

设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n∈N * ，都有（a n -1）（a n +3）=4S n ，其中S n 为

Answer 1

（Ⅰ）∵（a _n-1）（a _n+3）=4S _n，当n≥2时，（a _n-1-1）（a _n-1+3）=4S _n-1，

两式相减，得

a 2n -

a 2n-1 +2 a n -2 a n-1 =4 a n ，即（a _n+a _n-1）（a _n-a _n-1-2）=0，又a _n＞0，∴a _n-a _n-1=2．

当n=1时，（a ₁-1）（a ₁+3）=4a ₁，∴（a ₁+1）（a ₁-3）=0，又a ₁＞0，∴a ₁=3．

所以，数是以3为首项，2为公差的等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ），a ₁=3，d=2，∴a _n=2n+1．

设 b n =

4

a n 2 -1 ，n∈N ^*；∵a _n=2n+1，∴ a n 2 -1=4n(n+1)))

∴ b n =

4

4n(n+1) =

1

n(n+1) =

1

n -

1

n+1

∴T _n=b ₁+b ₂+b ₃+…+b _n= (1-

1

2 )+(

1

2 -

1

3 )+…+(

1

n -

1

n+1 ) = 1-

1

n+1 ＜1 ．

又∵ T n+1 - T n =

n+1

n+2 -

n

n+1 =

1

(n+2)(n+1) ＞0 ，∴ T n+1 ＞ T n ＞ T n-1 ＞…＞ T 1 =

1

2 ，

综上所述：不等式

1

2 ≤ T n ＜1 成立．