Question

若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x-y∈A，且x≠0时，[1/x∈A．则称集合A是“好集”．

Answer 1

解题思路：（1）利用“好集”的概念和集合B，能够推导出集合B不是“好集”，有理数集Q是“好集”．

（2）集合A是“好集”，利用“好集”的概念，能够证明若x-y∈A，则x+y∈A．

（3）利用“好集”的概念，由任意的一个“好集”A，能够推导出命题p：若x，y∈A，则必有xy∈A和命题q：若x，y∈A，且x≠0，则必有

y

x

∈A

都是真命题．

（本小题满分14分）

（Ⅰ）集合B不是“好集”．

理由是：假设集合B是“好集”．

因为-1∈B，1∈B，所以-1-1=-2∈B．这与-2∉B矛盾．…（2分）

有理数集Q是“好集”．因为0∈Q，1∈Q，

对任意的x，y∈Q，有x-y∈Q，且x≠0时，

1

x∈Q．

所以有理数集Q是“好集”．…（4分）

（Ⅱ）因为集合A是“好集”，

所以 0∈A．若x，y∈A，则0-y∈A，即-y∈A．

所以x-（-y）∈A，即x+y∈A．…（7分）

（Ⅲ）命题p，q均为真命题．理由如下：…（9分）

对任意一个“好集”A，任取x，y∈A，

若x，y中有0或1时，显然xy∈A．

下设x，y均不为0，1．由定义可知：x-1，

1

x−1]，[1/x]∈A．

所以[1/x−1]-[1/x]∈A，即[1

x(x−1)∈A．

所以x（x-1）∈A．

由（Ⅱ）可得：x（x-1）+x∈A，即x²∈A．同理可得y²∈A．

若x+y=0或x+y=1，则显然（x+y）²∈A．

若x-y=0，或x-y=1，则（x-y）²∈A．

所以2xy=（x+y）²-x²-y²∈A．

所以

1/2xy∈A．

由（Ⅱ）可得：

1

xy]=

1

2xy+

1

2xy∈A．

所以 xy∈A．

综上可知，xy∈A，即命题p为真命题．

若x，y∈A，且x≠0，则

1

x∈A．

所以

y

x＝y•

1

x∈A，即命题q为真命题．…（14分）

点评：

本题考点： 命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断．

考点点评： 本题考查命题的真假的判断和应用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，熟练掌握“好集”的概念，合理地进行等价转化．