解题思路:(1)欲证BC是⊙O的切线,只需证明BC⊥AB即可;
(2)根据相似三角形(△BDC∽△EBC)的对应边成比例知[BD/EB]=[CD/BC],即BD•BC=BE•CD;
(3)根据题意,推出OC和CD的长度,然后通过求证△DCG∽△BCD,即可推出DG:BD的值,即∠DBG的正切值,由∠DBG=∠CDG,即可推出∠CDG的正切值.
(1)证明:∵AB是⊙O的直径,AB⊥DF,
∴
BD=
BF,
∴∠FAB=∠DAB;
又∵∠CBD=∠FAB,
又∵∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角),
∴∠DAB+∠DBA=∠CBD+∠DBA=90°,
∴BC⊥AB,
∴BC是⊙O的切线;
(2)证明:由(1)知,∠DBC=∠BAD.
∵∠BED=∠BAD(同弧所对的圆周角相等),即∠BEC=∠BAD,
∴∠DBC=∠BEC;
又∵∠BCD=∠ECB(公共角),
∴△BDC∽△EBC.
∴[BD/EB]=[CD/BC],
∴BD•BC=BE•CD;
(3)∵⊙O 的半径为r,BC=3r,
∴AB=2r,
∴[AB/BC]=[2/3];
又由(1)知,BC⊥AB,
∴OC=
(OB)2+BC2=
10r,
∴CD=(
10-1)r;
∵AO=DO(⊙O的半径),
∴∠OAD=∠ODA(等边对等角);
∵∠CBD=∠BAD,∠ADO=∠CDG(对顶角相等),
∴∠CDG=∠DBG,
∴△DCG∽△BCD,
∴[CD/CB]=[DG/BD]=
(
10−1)r
3r=
(
10−1)
3
∵tan∠DBG=[DG/BD]=
(
10−1)
3,
∴tan∠CDG=
10−1
3.
点评:
本题考点: 圆的综合题.
考点点评: 本题主要考查切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数定义等知识点,关键在于:(1)熟练运用圆周角定理,切线的性质;(2)根据(1)的结论和已知条件推出△EBC∽△BDC;(3)关键在于通过求证△DCG∽△BCD,根据对应边成比例的性质求出tan∠DBG的值.