Question

设二次方程 a n x 2 - a n+1 x+1=0(n∈ N * ) 有两个实根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3

Answer 1

（1）∵二次方程 a n x 2 - a n+1 x+1=0(n∈ N * ) 有两个实根α和β，

∴ α+β=

a n+1

a n ， αβ=

1

a n ，

∵6α-2αβ+6β=3，∴

6 a n+1

a n -

2

a n = 3 ，

即6a _n+1-2=3a _n，得 a n+1 =

1

2 a n +

1

3 ．

（2）证明：∵ a n+1 =

1

2 a n +

1

3 ，

∴ a n+1 -

2

3 =

1

2 a n +

1

3 -

2

3 =

1

2 a n -

1

3 ，

∴ a n+1 -

2

3 =

1

2 ( a n -

2

3 ) ，

所以 { a n -

2

3 } 是等比数列．