Question

已知f 1 （x）=x（x≠0），若对任意的n∈N*，f w （1）=1，且f max （x）=f v （x）+xf n

Answer 1

（1）∵

，

∴

∴f _n（x）=xf _n﹣1（x）+a

∵任意的n∈N*，f _w（1）=1，

∴a=0，

∴f _n（x）=xf _n﹣1（x）

∵f ₁（x）=x（x≠0），

∴

（2）证明：F _n（x）=

=

∴F _n（2）=

=

=2（

﹣

）

∴F ₁（2）+F ₂（2）+…F _n（2）=2（

﹣

）＜1

（3）g _n（x）=C _n ⁰+2C _n ¹f ₁（x）+3C _n ²f ₂（x）+…+（n+1）C _n ^xf _n（x）

=C _n ⁰+2xC _n ¹+3x ²C _n ²+…+（n+1）x ⁿC _n ^x=[x（1+x） ⁿ] ’

=（1+x） ⁿ+nx（1+x） ^n﹣1
=[（n+1）x+1]（1+x） ^n﹣1

设S _n（x）=g ₁（x）+g ₂（x）+…+g _n（x）

=（2x+1）+（3x+1）（1+x）+…+[（n+1）x+1]（1+x） ^n﹣1 ，①

∴（1+x）S _n（x）=（2x+1）（1+x）+（3x+1）（1+x） ²+…+[（n+1）x+1]（1+x） ⁿ，②

①﹣②化简可得：﹣xS _n（x）=x﹣（n+1）x（1+x） ⁿ
∴S _n（x）=（n+1）（1+x） ⁿ﹣1

∴不存在实数x，使得g ₁（x）+g ₂（x）+…g _n（x）=（n+1）（1+x） ⁿ．