(2013•浙江模拟)如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=

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  • 解题思路:(1)取AB的中点为N,连接MN,PN,由三角形的中位线定理和平行四边形的性质与判定即可证明平面PMN∥平面EBC,再利用面面平行的性质定理即可得到结论;

    (2)由面面垂直的性质可得CB⊥EF;再由∠AEF=∠AEB=45°,可得FE⊥EB,从而可得FE⊥平面BCE,可得∠FCE为直线CF与平面BCE所成角.再由已知可求出EC,EF即可.

    (1)取AB的中点为N,连接MN,PN,

    又∵M是AE的中点,∴MN∥EB.

    ∵BN

    .PC,∴四边形BCPN是平行四边形.

    ∴PN∥BC,

    ∵MN∩NP=N.

    ∴面PMN∥面EBC,

    ∴PM∥平面BCE.

    (2)∵正方形ABCD⊥平面四边形ABEF,BC⊥AB,

    ∴BC⊥平面ABEF,

    ∴BC⊥EF,BC⊥BE.

    ∵△ABE是等腰直角三角形,AE=AB=2,∴∠AEB=45°,EB=2

    2.

    又∵∠AEF=45°.

    ∴∠FEB=90°.

    ∴FE⊥EB.

    又EB∩BC=B,FE⊥面EBC,

    ∴∠FCE为直线CF与平面BCE所成角,

    由上面可知:EC=

    BC2+EB2=2

    3.

    ∵FA=FE,∠AEF=45°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴FE=

    2.

    ∴tan∠FCE=

    FE

    EC=

    6

    6.

    点评:

    本题考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.

    考点点评: 熟练掌握三角形的中位线定理和平行四边形的性质与判定、面面平行的判定与性质定理、面面垂直的性质、线面垂直的判定和性质定理、线面角的定义是解题的关键.