这个数列没有极限.
n=2k（k为自然数）,cos（2kπ）=cos（0）=1
n=2k+1（k为自然数）,cos（2kπ+π）=cos（π）= -1
趋近于无穷时,有正负无穷两个极限,因此合起来极限不存在,因为违反了极限的唯一性准则.
不管是不是无穷大,我之前的回答已经很明确表达了极限唯一性的准则,既然趋近于无穷时,存在正负两种无穷大（Sariel_昔拉这位说都是无穷大,确实没错,我们说正负无穷都是无穷,但是你能说正无穷=负无穷?）,那么这个数列必然是不存在极限的.
另外,这个问题一开始我确实是没有回答完全,因为一开始我只给出了这个数列没有极限这个结论,并没有否认其为无穷大的结论,而数列和函数趋近于无穷大和有极限时两个截然不同的概念,所以请Sariel_昔拉这位仁兄用词不要太激烈,先把别人的东西看明白想明白再说.
lim(n→∞)(n+1)(n+2)/(n+3)(n+4)=lim(n→∞)(n^2+3n+2)/(n^2+7n+12)
这个极限是∞/∞型的极限,根据洛必达法则,且分子分母可导,则将分子与分母同时求导得到
原极限=lim(2n+3)/(2n+7) ,到这一步,仍然是∞/∞型的极限,继续求导得到
原极限=1,其实这个结论说明,原式子的分子与分母多项式区别最大且增速最快的项是二次方项,一次方项和常数项在n趋近于无穷时,其差别可以忽略了,而分子分母的二次方项相同,必然得到无穷时二者比值极限为1的结论.