已知：△ABC的两条高BE、CF相交于点O,第三条高AD交高BD于点Q,交高CF于点P.
求证：P、Q、O三点重合
证明：如图,∵BE⊥AC,CF⊥AB
∴∠AEB = ∠AFC = 90° 又∵∠BAE = ∠CAF ∴△ABE ∽ △ACF ∴AB/AC=AE/AF,即AB·AF=AC·AE 又∵AD⊥BC
∴△AEQ ∽ △ADC,△AFP ∽ △ADB ∴AE/AD=AD/AQ AF/AD=AP/AB
即AC·AE = AD·AQ,AB·AF = AD·AP
∵AB·AF = AC·AE,AC·AE = AD·AQ,AB·AF = AD·AP ∴AD·AQ = AD·AP ∴AQ = AP
∵点Q、P都在线段AD上 ∴点Q、P重合
∴AD与BE、AD与CF交于同一点
∵两条不平行的直线只有一个交点
∴BE与CF也交于此点
∴点Q、P、O重合.