Question

怎样求证：(ac+bd)的平方小于等于(a的平方+b的平方)(c的平方+d的平方)

Answer 1

该不等式为重要的柯西不等式

证明如下：

(ac+bd)^2-(a^2+b^2)(c^2+d^2)

=(ac)^2+2abcd+(bd)^2-a^2c^2-a^2d^2-b^2c^2-b^2d^2

=2abcd-[(ad)^2+(bc)^2]

由均值不等式得：(ad)^2+(bc)^2>=2abcd

即原不等式(ac+bd)^2-(a^2+b^2)(c^2+d^2)