f(x)=[(2010^(x+1)+2008)/(2010^x+1) ]+sinx
设g(x)=(2010^(x+1)+2008)/(2010^x+1)
则g(x)= (2010^(x+1)+2010-2)/(2010^x+1)
=2010-2/(2010^x+1),
因为2010^x是R上的增函数,所以g(x)也是R上的增函数.
函数g(x)在[-a,a]上的最大值是g(a),最小值是g(-a).
函数sinx是奇函数,它在[-a,a]上的最大值与最小值互为相反数,
最大值与最小值的和为0.
所以函数f(x)的最大值M与最小值N之和M+N= g(a) +g(-a)
=[2010-2/(2010^a+1)]+ [2010-2/(2010^(-a)+1)]
=4020-[2/(2010^a+1)+2/(2010^(-a)+1)]……中括号内第二项分子分母同乘以2010^a
=4020-[2/(2010^a+1)+2•2010^a /(1+2010^a)]
=4020-2•(1+2010^a) /(1+2010^a)
=4020-2=4018.