Question

设m，n∈N，f（x）=（1+x）m+（1+x）n．

Answer 1

解题思路：（1）分别给f（x）中的x赋值1，-1，两个式子相加求出a₀+a₂+a₄+a₆．

（2）由已知得到m，n满足的条件，利用二项展开式的通项公式求出展开式中x²的系数，通过代入消元得到关于n的二次函数，将二次函数配方求出最小值．

（1）分别令x=1，x=-1，得a₀+a₂+a₄+a₆=128

（2）有题设知，m+n=19

x²的系数为：

C2m+

C2n＝

1

2m(m−1)+

1

2n(n−1)

=

1

2[(m+n)2−2mn−(m+n)]＝171−(19−n)n

=(n−

19

2)2+

323

4

所以，当n=10或n=9时，f（x）展开式中x²的系数最小，为81．

点评：

本题考点： 二项式系数的性质．

考点点评： 求展开式的系数和常用的方法是赋值法；（2）中求二次函数的最值问题关键是通过配方求出对称轴．