Question

设抛物线y^2=4px(p>0)的焦点弦AB被焦点分成长为m,n两部分,求证:(1/m)+(1/n)为定值.

Answer 1

焦点(p,0)

若AB斜率不存在,则AB是x=p

则y^2=4p^2

y=2p,-2p

所以m=2p,n=|-2p|=2p

则1/m+1/n=1/p

若斜率存在

则是y-0=k(x-p)

y=kx-kp

代入

k^2x^2-(4p+2k^2p)x+k^2p^2=0

x1+x2=(4p+2k^2p)/k^2

x1x2=p^2

准线x=-p

由抛物线定义,抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离

所以m=AF=A到准线距离=x1-(-p)=x1+p

同理,n=x2+p

m+n=x1+x2+2p=(4p+2k^2p)/k^2+2p=(4p+4k^2p)/k^2

mn=(x1+p)(x2+p)=x1x2+p(x1+x2)+p^2=(4p^2+4p^2k^2)/k^2

所以1/m+1/n=(m+n)/mn

=(4p+4k^2p)/(4p^2+4p^2k^2)

=1/p

斜率不存在时也等于1/p

所以1/m+1/n=1/p,是个定值