1、一个正整数,如果加上100书一个完全平方数；如果加上168则是另外一个完全平方数,求这个正整数.
为方便起见,我们设这个正整数为x,两个完全平方数依次为m^2,n^2,于是有
x+100=m^2,x+168=n^2,将此二式相减,即得
n^2-m^2=68,即(n+m)(n-m)=68.
我们知道(n+m)与(n-m)的奇偶性相同,而68为偶,故(n+m)与(n-m)都为偶,而68=2X2X17,因此唯一的分解只能是34,2.容易解得m=16,n=18.
故此这个正整数x=16^2-100=256-100=156.
2、已知(x^2)*(y^2)+x^2+y^2=10xy-16,求x,y
将等式整理为
(xy)^2-8xy+16+x^2+y^2-2xy=0
于是得到
(xy-4)^2+(x-y)^2=0,
由于(xy-4)^2≥0 ,(x-y)^2≥0 ,由上述等式,立得
(xy-4)^2=0,(x-y)^2=0,解之,得
xy=4,x=y.即得x^2=4,从而有x=2,或-2.亦有y=2,或-2.
3、已知（a+b）^2-(a-b)^2=12,1/3(a-3)-1/3(2+b)=5/6,求-1/3(a^2)(b^3)+1/2(a^3)(b^2)
将（a+b）^2-(a-b)^2=12展开为a^2+b^2+2ab-(a^2+b^2-2ab)=12,
整理得
4ab=12,即ab=3.
再将1/3(a-3)-1/3(2+b)=5/6展开为
2(a-3)-2(2+b)=5,整理得
2a-2b=15,因a不等于0,故两边同乘以a,得
2a^2-2ab=15a,将ab=3代入并整理,得
2a^2-15a-6=0,
解之,得a=(15+根号273)/4或(15-根号273)/4.
欲求代数式=(ab)^2X(1/2a-1/3b)
=3^2X1/6X(3a-2b)
=3/2X(a+2a-2b)
=3/2X(a+15)
将a值代入即得二个结果：(225+3根号73)/8；(225-3根号73)/8.
注：我先祝楼主新年快乐!心想事成!您的第三题可能数据有误,因为我按照我上述算法,结果比较繁琐,请认真核对.