Question

长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点．

Answer 1

解题思路：（I）利用长方体的性质和三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可得出；

（II）利用线面垂直的性质定理和判定定理、正方形的性质即可证明；

（III）利用“等积变形”即可得出．

（Ⅰ）证明：设A₁D与AD₁交于点O，连接EO．

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O、E分别为AD₁、AB的中点，

∴OE∥BD₁．

∵OE⊂平面A₁DE，BD₁⊄平面A₁DE

∴BD₁∥平面A₁DE．

（Ⅱ） 在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵AD=AA₁，∴A₁D⊥AD₁．

又AB⊥侧面ADD₁A₁，∴AB⊥A₁D，

而AD₁∩AB=A，∴A₁D⊥平面ABD₁．

（Ⅲ） 设点B到面A₁DE的距离为h，VA1−BDE＝

1

3S△BDE•AA1=[1/3×

1

2×1×4×4=

8

3].S△A1DE＝

1

2A1D•OE=

1

2×4

2×3=6

2．

由VA1−BDE＝VB−A1DE得

1

3×6

2×h＝

8

3，

得h＝

2

2

3，即点B到面A₁DE的距离为

2

点评：

本题考点： 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 熟练掌握长方体的性质和三角形的中位线定理、线面平行与垂直的判定及性质定理、正方形的性质、三棱锥的“等积变形”是解题的关键．