Question

已知 点P是抛物线y=x^2/4 -2 (四分之一x平方减2)上一动点,L是过P点的切线,求原点O到L的最短距离

Answer 1

y=x^2/4 -2

求导y'=1/2x

设点P(m,n) ,n=m^2/4-2

则切线斜率k=1/2m,

切线L的方程为

y-(m^2/4-2)=1/2m(x-m)

即2mx-4y-m^2-8=0

原点O到L的距离

d=|-m^2-8|/√（4m^2+16)

=1/2(m^2+8)/√(m^2+4)

令√(m^2+4)=t≥2

∴m^2=t^2-4

∴d=1/2(t^2+4)/t

=1/2(t+4/t)

d'=1/2(1-4/t^2)=1/2(t+2)(t-2)/t^2

∵t≥2 ∴d'≥0恒成立

∴d(t)为增函数,

当t=2时,d取得最小值2

即原点到L的最小值为2,

此时m=0,P(0,-2)