（1）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD 1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M，N分别是A 1A，B 1B的中点，
∴D 1（0，0，2），N（2，2，1），A（2，0，0），D（0，0，0）
∴
D 1 N =（2，2，-1），
设直线D 1N与平面A 1ABB 1所成角为θ，
∵平面A 1ABB 1的一个法向量
DA =（2，0，0），
∴sinθ=|cos＜
D 1 N ，
DA ＞|=|
4
4+4+1 ×
4 |=
2
3 ，
∴直线D 1N与平面A 1ABB 1所成角的大小为arcsin
2
3 ．
（2）∵C（0，2，0），M（2，0，1），
∴
CM =（2，-2，1），
设直线CM与D 1N所成角的为α，
∵
D 1 N =（2，2，-1），
∴cosθ=|cos＜
CM ，
D 1 N ＞|=|
4-4-1
4+4+1 ×
4+4+1 |=
1
9 ，
∴sinθ=
1-(
1
9 ) 2 =
4
5
9 ．
直线CM与D 1N所成角的正弦值为
4
5
9 ．
（3）∵M（2，0，1），B（2，2，0），D 1（0，0，2），N（2，2，1），
∴
D 1 M =(2，0，-1) ，
D 1 B =（2，2，-2），
D 1 N =（2，2，-1），
设平面D 1MB的法向量
n =(x，y，z) ，
则
D 1 M •
n =0，
D 1 B •
n =0，
∴
2x-z=0
2x+2y-2z=0 ，∴
n =(1，1，2) ，
∴点N到平面D 1MB的距离d=
|
D 1 N •
n |
|
n | =
|2+2-2|
1+1+4 =
6
3 ．
1年前
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