Question

1.已知数列{an},满足a1=1,若点（an/n,(a(n+1))/(n+1))在直线x-y+1=0上,求数列{an}

Answer 1

1.根据题意,点（an/n,(a(n+1))/(n+1))在直线x-y+1=0上,将该点代入该直线方程,得,

a(n+1)/(n+1)=an/n+1

所以

an/n =a(n-1)/(n-1)+1

a(n-1)/(n-1)=a(n-2)/(n-2)+1

.

.

a2/2=a1/1+1

上述关系式,左边+左边=右边+右边,并消去相同的项,得

an/n=a1+n-1=n

所以 an=n^2

2.

（1）证明：由题意,bn=1/(an-2)

所以 b（n+1）-bn=1/(a(n+1)-2)-1/(an-2) (*)

由于an=4-4/a(n-1),所以,a(n+1)=4-4/an,所以,a(n+1)-2=2-4/an

所以1/(a(n+1)-2)=1/(2-4/an)=an/(2*an-4)

将上式代入（*）式,得

b（n+1）-bn=1/(a(n+1)-2)-1/(an-2)=an/(2*an-4))-1/(an-2)=（an-2）/（2*（an-2））=0.5

所以 数列{bn}是等差数列,公差为0.5 ,通项为 bn=0.5*n

根据bn=1/(an-2)得,

1/(an-2)=0.5*n

解得,an=2+2/n